Сопряженные комплексные числа.

Если $x=a+bi$ - комплексное число, то число $a-bi$ - **комплексно сопряжённое к** $x$ и обозначается через $\overline{x}$.

1. $\overline{\overline{x}}=x$ 2. $x = \overline{x} \iff x \in \mathbb{R}$ 3. $x+\overline{x} \in \mathbb{R}$ 4. $x \cdot \overline{x} \in \mathbb{R}$; более того, $x \cdot \overline{x} \geq 0$, причем $x \cdot \overline{x}=0 \iff x=0$ 5. $\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y}$ 6. $\overline{xy}=\overline{x} \cdot \overline{y}$

Пусть $x=a+bi$ и $y=c+di$. 1) $\overline{\overline{x}} =\overline{a-bi}=a+bi=x$ 2) Если $x=\overline{x}$ , т.е. $a+bi=a-bi$, то $2bi=0$, откуда $b=0$ $\Rightarrow$ $x \in \mathbb{R}$. Обратно, если $x \in \mathbb{R}$, то $b=0$ $\Rightarrow$ $x=\overline{x}$ 3) Достаточно учесть, что $x+\overline{x}=2a$ 4) Достаточно учесть, что $x \cdot \overline{x}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$ 5) Ясно, что $$\overline{x+y}=\overline{(a+bi)+(c+di)}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=\overline{x}+\overline{y}$$ 6) Ясно, что $$\overline{xy}=\overline{(a+bi)(c+di)}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad-bc)i=(a-bi)(c-di)=\overline{x} \cdot \overline{y}$$ Все свойства доказаны $~~~\square$

Свойство 4) можно использовать для того, чтобы найти алгебраическую форму для деления: $$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i$$

Если $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$, то $z, \overline{z}$ - корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом. Верно и обратное.

Если $z=a+bi \in \mathbb{C}~\textbackslash~\mathbb{R}$, то $b \neq 0$. Ясно что $z$ и $\overline{z}$ - корня уравнения: $$(x-z)(x-\overline{z})=x^{2}-(z+\overline{z})x+z \cdot \overline{z}=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}=0$$ Дискриминант этого уравнения равен $a^{2}-(a^{2}+b^{2})=-b^{2}<0$. Обратно, если у квадратного уравнения $x^{2}+px+q=0$ с действительными коэффициентами дискриминант $\Delta:=\dfrac{p^{2}}{4}-q < 0$, то корни $-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt[]{\Delta }$ этого уравнения - комплексно сопряженные числа. $\square$